algebry twierdzenie podstawowe
 
Encyklopedia PWN
algebry twierdzenie podstawowe, zasadnicze twierdzenie algebry,
mat. twierdzenie o istnieniu dla każdego wielomianu f(z) = anzn + ... + a1z + a0 stopnia n > 0, o współczynnikach zespolonych (liczby zespolone) takiej liczby zespolonej ξ, zw. pierwiastkiem wielomianu f, że f(ξ) = 0.
Z twierdzenia tego wynika, że każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n (niekoniecznie różnych) pierwiastków ξ1, ξ2, ... , ξn i daje się zapisać w postaci f(z) = an(zξ1)(zξ2) ... (zξn). Z twierdzenia tego wynika też, że jeżeli wszystkie współczynniki f są rzeczywiste, to f można zapisać jako iloczyn wielomianów postaci za lub z2 + pz + q, z rzeczywistymi współczynnikami a, p, q, dla których Δ = p2 – 4q < 0; np. wielomian z4 + 1 = (z2 + 2z + 1) (z2 – 2z + 1). A. Girard (1629) i R. Descartes (1637) byli pierwszymi, którzy stwierdzili, że równanie algebraiczne f(z) = 0 (f — wielomian o współczynnikach rzeczywistych, stopnia n) może mieć nie więcej niż n pierwiastków rzeczywistych.
W XVIII w. sformułowanie tego zagadnienia uległo zmianie — chodziło o udowodnienie, że każde równanie algebraiczne o współczynnikach rzeczywistych, stopnia n, ma dokładnie n pierwiastków (rzeczywistych i zespolonych). Ostatnie sformułowanie jest równoważne rozkładowi f na czynniki postaci za lub z2 + pz + q. Pierwszy dowód twierdzenia podał J. d’Alembert (1746). Dowód polegał na wykazaniu, że min|f(z)| = 0. Dowód ten nie był ścisły; odwoływał się do faktów z analizy mat., co nie satysfakcjonowało ówczesnych matematyków. Dopiero E. Artin i O. Schreier podali (1926) algebraiczną wersję dowodu. Inne, również nieścisłe, dowody p.t.a. podali L. Euler (1749), J.L. Lagrange (1772), P.S. Laplace (1812). Pierwsze poprawne dowody podał C.F. Gauss (1799–1812, 1850).
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia