algebry twierdzenie podstawowe

algebry twierdzenie podstawowe, zasadnicze twierdzenie algebry,

mat. twierdzenie o istnieniu dla każdego wielomianu f(z) = a_nzⁿ + ... + a₁z + a₀ stopnia n > 0, o współczynnikach zespolonych (liczby zespolone) takiej liczby zespolonej ξ, zw. pierwiastkiem wielomianu f, że f(ξ) = 0.

Z twierdzenia tego wynika, że każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n (niekoniecznie różnych) pierwiastków ξ₁, ξ₂, ... , ξ_n i daje się zapisać w postaci f(z) = a_n(z – ξ₁)(z – ξ₂) ... (z – ξ_n). Z twierdzenia tego wynika też, że jeżeli wszystkie współczynniki f są rzeczywiste, to f można zapisać jako iloczyn wielomianów postaci z – a lub z² + pz + q, z rzeczywistymi współczynnikami a, p, q, dla których Δ = p² – 4q < 0; np. wielomian z⁴ + 1 = (z² + 2z + 1) (z² – 2z + 1). A. Girard (1629) i R. Descartes (1637) byli pierwszymi, którzy stwierdzili, że równanie algebraiczne f(z) = 0 (f — wielomian o współczynnikach rzeczywistych, stopnia n) może mieć nie więcej niż n pierwiastków rzeczywistych.

W XVIII w. sformułowanie tego zagadnienia uległo zmianie — chodziło o udowodnienie, że każde równanie algebraiczne o współczynnikach rzeczywistych, stopnia n, ma dokładnie n pierwiastków (rzeczywistych i zespolonych). Ostatnie sformułowanie jest równoważne rozkładowi f na czynniki postaci z – a lub z² + pz + q. Pierwszy dowód twierdzenia podał J. d’Alembert (1746). Dowód polegał na wykazaniu, że min|f(z)| = 0. Dowód ten nie był ścisły; odwoływał się do faktów z analizy mat., co nie satysfakcjonowało ówczesnych matematyków. Dopiero E. Artin i O. Schreier podali (1926) algebraiczną wersję dowodu. Inne, również nieścisłe, dowody p.t.a. podali L. Euler (1749), J.L. Lagrange (1772), P.S. Laplace (1812). Pierwsze poprawne dowody podał C.F. Gauss (1799–1812, 1850).