szereg trygonometryczny

szereg trygonometryczny,

mat. szereg postaci , gdzie współczynniki a_n, b_n są liczbami rzeczywistymi;

jeśli zamiast funkcji cosnx i sinnx wprowadzić (za pomocą wzorów Eulera e^±inx = cosnx ± i sinnx) funkcje e^inx i e^-inx, to szereg trygonometryczny można napisać w postaci zespolonej:

,

gdzie 2c_n = a_n – ib_n dla n ≥ 0 oraz 2c_n = a_–n + ib_–n dla n < 0; przedstawiony w definicji szereg trygonomertryczny ma okres 2π; dla dowolnego okresu 2k szereg trygonomretryczny ma postać:

;

przedstawienie πx/k = y pozwala przejść do szeregu trygonometrycznego o okresie 2π; w szczególnym przypadku, gdy współczynniki a₀, a_n, b_n są współczynnikami Fouriera funkcji okresowej f(x) — szereg trygonometryczny nazywa się szeregiem Fouriera tej funkcji.

Szeregi trygonometryczne odgrywają w matematyce i jej zastosowaniach ważną rolę; pozwalają definiować i badać skomplikowane funkcje; bardzo często pojawiają się w rozmaitych zagadnieniach fizyki mat. (np. przy rozwiązywaniu zagadnień strun drgających lub przewodnictwa cieplnego); rozwój teorii szeregu trygonometrycznego wiązał się z problemami precyzowania ważnych pojęć mat. (jak pojęcie funkcji, całki), spowodował powstanie nowych działów matematyki (np. teorii całek Fouriera, teorii funkcji prawie okresowych, analizy harmonicznej), był bodźcem dla rozwoju teorii mnogości, teorii funkcji rzeczywistych, analizy funkcjonalnej. Szeregi trygonometryczne pojawiły się w pracach L. Eulera (ok. 1748); J. Fourier (ok. 1811) stosował szeregi trygonometryczne w badaniach zagadnień z zakresu przewodnictwa cieplnego; badanie ogólnych szeregów trygonometrycznych zapoczątkowali B. Riemann, G. Cantor i H. Lebesgue.