współrzędne

współrzędne,

mat. liczby lub ciągi liczb określające położenie punktów na prostych, płaszczyznach, w przestrzeni, na powierzchniach i krzywych;

jeśli każdemu punktowi P pewnego podzbioru Ω przestrzeni X jednoznacznie odpowiada uporządkowany układ liczb x₁, ... , x_n (zbiór uporządkowanych układów liczb rzeczywistych, zwany punktami, tworzy n-wymiarową przestrzeń kartezjańską), to takie odwzorowanie punktów (x₁, ... , x_n) na punkty P z obszaru Ω nazywa się układem współrzędnych w przestrzeni X, a same liczby x₁, ... , x_n — współrzędne punktu P. Najprostszymi układami współrzędnych są układy współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej; nieco ogólniejsze są współrzędne afiniczne (ukośnokątne) — w tym przypadku osie współrzędnych są wzajemnie nachylone pod różnymi kątami (na ogół ≠ 90°). Często na powierzchniach wprowadza się tzw. współrzędne krzywoliniowe, np. na powierzchni kuli — szerokość i długość geograficzna; w tym celu trzeba daną powierzchnię pokryć odpowiednią siatką linii (tzw. linii współrzędnych) tak, żeby przez każdy punkt tej powierzchni przechodziły dokładnie 2 linie, jedna z jednej rodziny (szerokość), a druga z drugiej (długość). Jeśli w każdym punkcie powierzchni linie z obu tych rodzin przecinają się pod kątem prostym, mówi się o współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych; takimi są np. współrzędne kuliste r, ϑ, φ, gdzie 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϑ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π; przyjmując tu r = const otrzymuje się współrzędne sferyczne; ich związek ze współrzędnymi kartezjańskimi x, y, z dają wzory x = r sin ϑ · cos φ, y = r sin ϑ · sin φ, z = cos ϑ; innym przykładem są współrzędne walcowe (cylindryczne) r, φ, z, gdzie 0 ≤ r < +∞, 0 < φ < 2π, –∞ < z < +∞; ich związek ze współrzędnymi kartezjańskimi x, y, z dają wzory x = r · cos φ, y = r · sin φ, z = z; ograniczając się tu do 2 pierwszych współrzędnych, otrzymuje się układ współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie (początek tego układu nazywa się biegunem); istnieje też wiele innych rodzajów współrzędnych. Idea wprowadzenia współrzędnych do matematyki, a więc w konsekwencji zapoczątkowanie geometrii analitycznej (zasługa R. Descartes’a), była istotnym krokiem w rozwoju matematyki; pozwoliła sprowadzić zagadnienia geometrii na teren analizy matematycznej, jak też na odwrót.