krytyczny punkt funkcji

krytyczny punkt funkcji,

mat. dla danej funkcji różniczkowalnej f: M → N, gdzie M i N są rozmaitościami różniczkowalnymi wymiaru (odpowiednio) m i n, punkt p ∈ M o tej własności, że różniczka funkcji f w p, tzn. przekształcenie liniowe przestrzeni stycznych df: T_pM → T_f(p)N, ma rząd mniejszy niż n (równoważnie: nie jest „na” przestrzeń styczną T_f(p)N);

gdy M jest podzbiorem przestrzeni kartezjańskiej ℝ^m, a f jest funkcją o wartościach rzeczywistych, to p.k.f. f są po prostu miejscami zerowymi jej gradientu (tzn. punktami, w których znikają wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f) i mogą — choć nie muszą — być punktami ekstremów lokalnych f (ekstremum funkcji); jeśli f: M → N jest klasy C^k dla pewnego k > max(m − n, 0), to wówczas obraz zbioru wszystkich p.k.f. f (czyli zbiór wartości kryt. f) jest zbiorem 1. kategorii w N i ma n-wymiarową miarę równą zeru.