osobliwości teoria

osobliwości teoria,

mat. teoria uogólniająca metody badania funkcji jednej zmiennej rzeczywistej na szeroką klasę obiektów mat., takich jak: przekształcenia gładkie, pola wektorowe, hiperpowierzchnie.

Wszystkie punkty, w których jest określone przekształcenie gładkie, dzieli się na punkty regularne i punkty krytyczne (krytyczny punkt funkcji), zw. też osobliwymi. W otoczeniu punktu regularnego oraz jego obrazu zawsze można tak dobrać współrzędne, by przekształcenie wyrażało się wzorem postaci f(x₁, ... , x_n) = (x₁, ... , x_k), czyli było liniowe. W punktach osobliwych zachowanie przekształcenia jest bardziej złożone. T.o. zajmuje się opisem zachowania przekształceń w otoczeniu takich właśnie punktów. Ponieważ zwykle istnieje nieskończone bogactwo rodzajów punktów osobliwych, poszukuje się rodzajów typowych, najczęściej występujących — przekształcenia posiadające osobliwości nietypowe powinny stanowić w pewnym sensie niewielki fragment klasy wszystkich rozważanych przekształceń. Na przykład powinno być tak, by każde przekształcenie można dowolnie blisko przybliżać przekształceniami, które mają tylko typowe osobliwości. T.o. zajmuje się klasyfikowaniem typowych punktów osobliwych; np. H. Whitney (1955) udowodnił, że każde przekształcenie gładkie płaszczyzny w siebie ma tylko 2 rodzaje typowych osobliwości (katastrof teoria — rys.).

Bada się także zachowanie punktów osobliwych przy niewielkich deformacjach; osobliwości, które przy takich deformacjach jedynie zmieniają swoje położenie, ale nie znikają, nazywa się osobliwościami stabilnymi. T.o. odwzorowań gładkich stanowi mat. podstawy teorii katastrof, rozwiniętej przez R. Thoma (1971). Punkty krytyczne pola wektorowego to punkty, w których jest zaczepiony wektor zerowy. Jeśli takie pole opisuje np. przepływ cieczy, to źródła, z których ciecz wypływa, stanowią przykład punktów osobliwych. Opis punktów osobliwych pola wektorowego jest podstawą do zrozumienia dynamiki takiego ruchu. Jakościowa teoria równań różniczkowych, opisujących wiele zjawisk fiz., chem., biol., ekon. itd., rozpoczyna się zwykle od zbadania własności punktów osobliwych pola wektorowego związanego z takim równaniem. W zastosowaniach bardzo często pojawiają się podzbiory przestrzeni kartezjańskiej rzeczywistej ℝⁿ lub zespolonej ⁿ, opisane za pomocą układu równań. Punkty takiego zbioru dzieli się na gładkie oraz osobliwe. W okolicy punktu gładkiego zbiór przypomina przestrzeń kartezjańską; w okolicy punktu osobliwego jego budowa jest przeważnie znacznie bardziej skomplikowana. Na przykład parabola półsześcienna, czyli podzbiór płaszczyzny ℝ² opisany równaniem x² = y³, ma punkt osobliwy — ostrze — w punkcie (0, 0). Gdy rozważa się podzbiór płaszczyzny zespolonej ² opisany tym samym równaniem, otrzymuje się pewną powierzchnię P z punktem osobliwym (0, 0). Można w pełni opisać naturę tej osobliwości: przecięcie powierzchni P z małą sferą trójwymiarową o środku (0, 0) ma kształt węzła trójlistnego, który przy zmniejszającym się do zera promieniu sfery zaciska się do punktu osobliwego. Ogólniej, istnieje bogata teoria punktów osobliwych na hiperpowierzchniach zespolonych, tj. podzbiorach przestrzeni ⁿ opisanych jednym równaniem. Wśród osobliwości takich hiperpowierzchni wyróżnia się osobliwości proste — przy ich deformacjach może pojawić się tylko skończenie wiele nowych punktów osobliwych.

Zbigniew Marciniak