Gödla twierdzenia

Gödla twierdzenia,

mat.:

1) twierdzenie o pełności: dowolny zbiór zdań w sformalizowanym języku matematyki jest albo spełniony w pewnej strukturze mat., albo formalnie sprzeczny, tzn. można z niego wyprowadzić jednocześnie pewną formułę i jej negację; wynika stąd, że sformalizowany system dowodzenia twierdzeń mat. (np. system podany przez B. Russella i A.N. Whiteheada w Principia Mathematica) jest pełny w tym sensie, że każda tautologia (tzn. formuła spełniona w dowolnej strukturze) ma dowód formalny;

2) twierdzenie o niezupełności arytmetyki: nie istnieje niesprzeczny układ aksjomatów i sformalizowany system poprawnej dedukcji, w którym można udowodnić wszystkie prawdziwe zdania arytmetyki liczb naturalnych; w argumentacji K. Gödel wykorzystał znany już w starożytności paradoks kłamcy („ja teraz kłamię”): dla każdego systemu zawierającego podstawowe pojęcia arytmetyki można skonstruować zdanie, które o sobie samym stwierdza, że nie ma w tym systemie dowodu; jeśli system dedukcji jest niesprzeczny, to zdanie to jest prawdziwe, ale nie posiada dowodu; twierdzenie o niezupełności arytmetyki (zw. też pierwszym twierdzeniem Gödla lub krótko twierdzeniem Gödla) jest najbardziej znanym osiągnięciem Gödla; wynika zeń niemożność realizacji programu postulowanego przez D. Hilberta, by opracować formalny system dowodzenia twierdzeń obejmujący całą matematykę (a więc także arytmetykę); oznacza to w szczególności, że twórczy wysiłek człowieka wkładany w rozstrzyganie hipotez mat. nie może zostać zastąpiony przez metodę mech., która mogłaby być realizowana np. przez komputer;

3) twierdzenie o niesprzeczności: dowodu niesprzeczności sformalizowanej teorii mat. nie można przeprowadzić na gruncie tej teorii; jest to możliwe jedynie w teorii ogólniejszej, ale dowód niesprzeczności tej nowej teorii wymaga teorii jeszcze ogólniejszej itd.; twierdzenie to (zw. też drugim twierdzeniem Gödla) jest konsekwencją twierdzenia o niezupełności arytmetyki.

Damian Niwiński