zbiór Julii

zbiór Julii,

mat. dla danej funkcji zespolonej — zbiór punktów, których otoczenia pod wpływem iteracji tej funkcji zachowują się bardzo nieregularnie (iteracje te poszczególne punkty z otoczenia przeprowadzają w różne rejony przestrzeni zespolonej);

wg precyzyjnej definicji, punkt zbioru Julii nie ma otoczenia, na którym iteracje tworzą rodzinę normalną, tzn. taką, z której można wybrać podciąg jednostajnie zbieżny; np. dla f(z) = z² zbiorem Julii jest okrąg jednostkowy: punkty leżące na zewnątrz tego okręgu pod wpływem iteracji funkcji f uciekają zgodnie do nieskończoności, te z wnętrza zaś zbiegają zgodnie do zera, czyli otoczenia punktów okręgu są „rozciągane” w dwie strony; dla f(z) = e^z zbiorem Julii jest cała płaszczyzna zespolona; jednak na ogół zbiór Julii jest znacznie bardziej skomplikowany, bardzo często ma charakter fraktalny (z uwagi na definicję zawierającą implicite pojęcie granicy), np. dla f(z) = z² + c, jeśli iteracje zera uciekają do nieskończoności, to zbiór Julii jest zbiorem Cantora; w przypadku wielomianów zbiór Julii jest brzegiem zbioru nie uciekającego do nieskończoności; dopełnienie zbioru Julii na płaszczyźnie zespolonej jest nazywane zbiorem Fatou — jego składowe (części) są sklasyfikowane, iteracje funkcji zachowują się na nich w miarę regularnie, zbieżnie do zachowania okresowego lub prawie okresowego; termin utworzony od nazwiska fr. matematyka G. Julii (1893–1978).