węzłów teoria
 
Encyklopedia PWN
węzłów teoria,
mat. dział topologii zajmujący się badaniem, gł. za pomocą pojęć algebraicznych, położeń krzywych zwykłych zamkniętych, czyli tzw. węzłów, w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej ℝ3.
Podstawowymi pojęciami teorii węzłów są: węzeł, czyli krzywa zwykła zamknięta, oraz splot, czyli skończona liczba parami rozłącznych węzłów. Jako wzorzec dla mat. definicji węzła można przyjąć kawałek zawiązanego sznurka, w którym końce po zawiązaniu zostały sklejone. Podstawowym zagadnieniem teorii węzłów jest rozróżnienie i klasyfikacja węzłów. Dwa węzły są równoważne, jeśli można jeden z nich zdeformować w taki sposób, by otrzymać drugi (bez rozcinania) lub jeśli istnieje homeomorfizm ℝ3, zachowujący orientację, przekształcający jeden węzeł na drugi. Klasyfikacja węzłów polega na poszukiwaniu różnych wielkości (liczbowych, algebraicznych i in.), zw. niezmiennikami, pozostających takimi samymi dla węzłów równoważnych.
Badanie i klasyfikacja węzłów zostały zapoczątkowane w XIX w., gdy P.G. Tait zdefiniował rząd węzła, jako najmniejszą liczbę przecięć na tzw. diagramie, czyli rysunku rzutu węzła na płaszczyznę, przy czym przy rzutowaniu co najwyżej 2 punkty zlepiają się i tych zlepień jest skończona liczba. Jednak niezmiennik ten jest bardzo trudny do stosowania, zwłaszcza że wraz ze wzrostem rzędu bardzo gwałtownie (co najmniej wykładniczo) rośnie liczba nierównoważnych węzłów. Pełną klasyfikację węzłów do rzędu 9. oprac. w końcu lat 20. XX w. K. Reidemeister. Na pocz. XX w. zostało zdefiniowanych wiele innych niezmienników, m.in. J.V. Alexander przyporządkował węzłom pewne wielomiany (1928); w latach 70. i 80. XX w. wprowadzono kolejne wielomiany niezmiennicze dla węzłów, lepiej je odróżniające: wielomian J.H. Conwaya, V. Jonesa (który za prace nad teorią węzłów otrzymał 1990 Medal Fieldsa), HOMFLY (nazwa od inicjałów autorów), L.H. Kaufmanna. Istnieje związek między teorią węzłów a niektórymi działami fizyki, chemii, biologii; w samej matematyce teoria węzłów odgrywa szczególną rolę przy badaniu rozmaitości trójwymiarowych.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia