ilorazowa konstrukcja

ilorazowa konstrukcja,

mat. przeniesienie struktury ze zbioru A na zbiór klas abstrakcji (abstrakcji zasada) pewnej relacji równoważności r w A (zbiór ilorazowy A/r).

Żąda się wówczas, by przekształcenie naturalne, przyporządkowujące każdemu elementowi zbioru A jego klasę abstrakcji względem r, było zgodne ze strukturą w A. W tym celu często relacja r także musi być z tą strukturą zgodna; np. jeśli (A, F) jest algebrą, tzn. F jest zbiorem skończenie argumentowych operacji w A, to r musi spełniać następujący warunek: dla każdej operacji (n-argumentowej) f ∈ F, jeśli a₁, ... , a_n, b₁, ... , b_n ∈  A i (a₁, b₁) ∈ r, ... , (a_n, b_n) ∈ r, to (f(a₁, ... , a_n), f(b₁, ... , b_n)) ∈ r. Wtedy w zbiorze A/r można określić operacje f, odpowiadające operacjom f ∈ F w następujący sposób ([a]_r oznacza klasę abstrakcji elementu a względem r): f_r([a₁]_r, ... , [a_n]_r) = [f(a₁, ... , a_n)]_r; przekształcenie naturalne jest wówczas homomorfizmem algebr (np. grupa ilorazowa). Jeśli (A, O) jest przestrzenią topologiczną, to dla każdej relacji równoważności r w zbiorze A można określić rodzinę O_r podzbiorów otwartych w A/r, przyjmując, że dla K ⊂ A/r, K ∈ O_r, gdy {a ∈ A: [a]_r ∈ K} należy do rodziny O; wtedy przekształcenie naturalne jest funkcją ciągłą z przestrzeni (A, O) w przestrzeń (A/r, O_r) (przestrzeń ilorazowa).

Często k.i. nazywa się również utworzenie na zbiorze A/r (dla danego zbioru A i relacji równoważności r w A) innej struktury, niekoniecznie dziedziczonej ze zbioru A. Może to prowadzić do zbudowania na zbiorze A/r struktury bogatszej niż struktura na A lub do rozszerzenia zbioru A; np. zbiór liczb całkowitych ℤ można zbudować jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych ℕ, dzieląc zbiór ℕ × ℕ przez pewną relację równoważności r w tym zbiorze i utożsamiając liczby naturalne z klasami abstrakcji postaci [(n, 0)]_r; podobnie można zbudować zbiór liczb wymiernych ℚ ze zbioru ℤ (ciało ułamków). W geometrii k.i. pozwala np. zbudować z prostokąta wstęgę Möbiusa — przez odpowiednie utożsamienie punktów jednego boku z punktami przeciwległego boku, a także powierzchnię torusa — przez utożsamienie każdego punktu brzegowego prostokąta z odpowiednim punktem przeciwległego boku.

Wiktor Bartol