twierdzenie o funkcji odwrotnej

twierdzenie o funkcji odwrotnej,

mat. jedno z twierdzeń rachunku różniczkowego;

orzeka, że jeśli f: U → ℝⁿ jest funkcją klasy C¹ określoną w zbiorze otwartym U ⊂ ℝⁿ i dla pewnego punktu a ∈ U pochodna Df(a) jest izomorfizmem liniowym przestrzeni ℝⁿ (równoważnie: wyznacznik macierzy Jacobiego det(∂f_i/∂x_j(a)) ≠ 0), to istnieje otoczenie otwarte V punktu a i otoczenie otwarte W punktu b = f(a), takie że f: V → W jest wzajemnie jednoznaczna, a ponadto funkcja do niej odwrotna, g = f^–1: W → V, też jest klasy C¹ i Dg(f(x)) = Df(x)^–1 dla x ∈ V (tzn. macierz Dg(y) jest, dla y = f(x), odwrotnością macierzy Df(x)); w najprostszym przypadku n = 1 t. o f.o. orzeka, że jeśli f: ℝ → ℝ ma ciągłą pochodną i dla pewnego a jest f′(a) ≠ 0, to f jest różnowartościowa w pewnym otoczeniu a, przy czym g = f^–1 ma ciągłą pochodną g′(f(x)) = 1/f′(x).