sfera rogata

sfera rogata,

mat. zbiór homeomorficzny ze sferą dwuwymiarową, położony w przestrzeni kartezjańskiej ℝ³ w taki sposób, że nieograniczone składowe dopełnienia s.r. i sfery nie są homeomorficzne (homeomorfizm).

Konstrukcja sfery rogatej pochodzi od J.V. Aleksandra, polega na doklejaniu (wydmuchiwaniu) w wyjściowej sferze rogów — w każdym następnym kroku dwukrotnie więcej niż w poprzednim — tak by odpowiednie rogi były parami zaczepione, ale dopiero po wykonaniu nieskończenie wielu kroków konstrukcji; wydmuchiwanie polega na wycięciu dysku i zaklejeniu powstałego otworu powierzchnią rogu, homeomorficzną z dyskiem; w ten sposób na każdym etapie konstrukcji, a także w granicy, otrzymuje się powierzchnię homeomorficzną ze sferą. Sfera rogata jest inaczej położona w ℝ³ niż sfera, tzn. nie istnieje homeomorfizm ℝ³ przeprowadzający sferę rogatą na sferę, wskazuje na to nieściągalność pętli w dopełnieniu sfery rogatej Gdyby konstrukcję rogów (wydmuchiwanie) przeprowadzić do wewnątrz sfery, powstałaby powierzchnia homeomorficzna ze sferą, będąca brzegiem zbioru niehomeomorficznego z kulą.