przestrzeń włóknista

przestrzeń włóknista,

mat. przestrzeń E w rozwłóknieniu p: E → B (czasem zw. też przestrzenią totalną rozwłóknienia); niekiedy p.w. nazywa się też samo rozwłóknienie p (w tym przypadku jest też używany termin wiązka);

termin „rozwłóknienie” jest najczęściej używany w topologii, natomiast „przestrzeń włóknista” — w geometrii różniczkowej. Ważnym przykładem p.w. jest p.w. główna; jest to układ P(M, G, π), składający się z rozmaitości P i M, grupy Liego G, działającej wolno na P (tj. jeśli pg = p dla pewnego p ∈ P, to g jest elementem neutralnym grupy G) oraz odwzorowania π: P → M, spełniającego definicję rozwłóknienia. Ponadto są spełnione warunki: (a) dla p, q ∈ P, π(p) = π(q) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g ∈ G, takie że q = pg; (b) dowolny punkt z M ma otwarte otoczenie U, takie że istnieją: dyfeomorfizm ψ: π⁻¹(U) → U × G oraz odwzorowanie różniczkowalne φ: π⁻¹(U) → G spełniające warunki φ(pg) = φ(p)g dla p ∈ P i g ∈ G, φ = pr_G º ψ, π = pr_U º ψ, gdzie pr_G: U × G → G oraz pr_U: U × G → U są naturalnymi rzutowaniami. W geometrii różniczkowej ważną rolę odgrywa p.w. główna reperów liniowych — tu P jest zbiorem baz wszystkich przestrzeni stycznych do M, a G = GL(n) jest grupą Liego macierzy nieosobliwych n × n, gdzie n jest wymiarem rozmaitości M.