Desarguesa twierdzenie

Desarguesa twierdzenie

[t. dezarga],

mat. twierdzenie opisujące własność trójwymiarowej przestrzeni rzutowej: jeśli proste łączące odpowiednie wierzchołki 2 trójkątów przecinają się w jednym punkcie (środek perspektywiczny), to proste zawierające odpowiednie boki tych trójkątów przecinają się w punktach leżących na jednej prostej (oś perspektywiczna).

Na rysunku punkt O jest środkiem perspektywicznym trójkątów ABC i KLM; ich osią jest prosta PQR. Twierdzenie pochodzi od G. Desarguesa (1648).

Znaczenie t.D. polega na tym, że prezentuje ono 2 rodzaje symetrii, charakterystyczne dla geometrii rzutowej — rola każdego punktu i prostej jest taka sama (każdy punkt rysunku jest środkiem perspektywicznym, podobnie każda prosta jest osią perspektywiczną jakichś już narysowanych trójkątów). Twierdzenie dualne (dualność) do t.D. jest jednocześnie twierdzeniem odwrotnym. Dlatego też t.D. można określić krótko: 2 trójkąty mają środek perspektywiczny wtedy i tylko wtedy, gdy mają oś perspektywiczną. Prawdziwość t.D. na jakiejś płaszczyźnie rzutowej jest równoważna zarówno jej zanurzalności w przestrzeni, jak i możliwości wprowadzenia układu współrzędnych. Mówi się też o t.D. w geometrii euklidesowej — wówczas dopuszcza się sytuacje, że niektóre z punktów konfiguracji są kierunkami. T.D. realizuje paradoksalny pomysł, aby 10 drzew posadzić w 10 rzędach, w każdym rzędzie po 3 drzewa.