schemat Hornera

schemat Hornera,

mat. schemat obliczeniowy ułatwiający znajdowanie ilorazu φ(x) i reszty ψ(α) przy dzieleniu wielomianu ψ(x) = a₀xⁿ + a₁x_n − 1 + ... + a_n − 1x + a_n przez dwumian x − α.

Jeżeli φ(x) = b₀x^n – 1 + b₁x^n – 2 +... + b_n – 2x + b_n – 1, to b₀ = a₀, b₁ = a₁ + αb₀, b₂ = a₂ + αb ₁,... , b_n – 1 = a_n – 1 + αb_n – 2, ψ(α)= a_n + αb_n – 1. W celu obliczenia nieznanych współczynników b_i oraz reszty ψ(α) buduje się tabelkę:

,

w której każdy wyraz pod kreską jest sumą 2 stojących nad nim liczb, przy czym należy pamiętać, że b₀ = a₀. Jeśli np. ψ(x) = 2x⁴ – 3x³ + 4x² – 2x – 1, α = 1, to schemat Hornera przybiera postać:

a zatem iloraz φ(x) = 2x³ – x² + 3x + 1, a reszta ψ(1) = 0. Sposób ten podał 1819 matematyk ang. W.G. Horner (1786–1837).