funkcja ciągła

funkcja ciągła,

funkcja f(x), która w punkcie a, należącym do jej dziedziny, ma wartość f(a) oraz granicę i zachodzi przy tym f(a) = ;

definicja równoważna (Cauchy’ego) brzmi następująco: funkcja f(x) jest ciągła w punkcie a wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej ε istnieje taka liczba δ > 0 (zależna na ogół od ε i od a), że z nierówności |x – a| < δ wynika nierówność |f(x) – f(a)| < ε. Funkcja f jest f.c., jeżeli jest ciągła w każdym punkcie, w którym jest określona. Wykresem f.c. jest linia ciągła (tzn. bez przerw).

Ogólnie: dla X, Y — przestrzeni topologicznych funkcja f: X → Y nazywa się f.c., jeżeli dla każdego zbioru otwartego V ⊂ Y jego przeciwobraz f ^–1(V) jest otwarty w X. Jeśli X i Y są przestrzeniami metrycznymi, to warunek ciągłości można wyrazić następująco: dla każdego ciągu {x_n} zbieżnego w X ciąg {f(x_n)} jest zbieżny w Y (warunek Heinego).