równanie sześcienne

równanie sześcienne,

mat. równanie algebraiczne postaci ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0);

równanie sześcienne za pomocą zamiany zmiennej x = z –a/3 można sprowadzić do tzw. postaci kanonicznej z³ + pz + q = 0; gdy wyróżnik D = (q/2)² + (p/3)³ jest dodatni, to ostatnie równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i 2 pierwiastki zespolone sprzężone:

, gdzie , ;

wzory te nazywają się wzorami Cardana, uzyskał je 1545 matematyk włoski N. Tartaglia; jeżeli wyróżnik D = 0, to istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty pojedynczy i jeden podwójny:

, (gdy q ≠ 0);

gdy D < 0, istnieją 3 różne pierwiastki rzeczywiste dane wzorami , k = 0, 1, 2, gdzie φ (0 ≤ φ ≤ π) wyznacza się z warunku .

Przykład: równanie sześcienne x³ – 3x² – x + 3 = 0 przez podstawienie x = z + 1 sprowadza się do postaci kanonicznej z³ – 4z = 0, gdzie p = –4, q  = 0, więc D = –(⁴/₃)³ < 0

oraz z_k = (4 /)cos¹/₃(π/2 + 2kπ)

(albowiem cosφ = 0, skąd φ = π/2); kładąc za k kolejno 0, 1, 2 znajdujemy z₀ = 2, z₁ = –2, z₂ = 0, a stąd 3 pierwiastki równania wyjściowego x₀ = 3, x₁ = –1, x₂ = +1.