równanie sześcienne
 
Encyklopedia PWN
równanie sześcienne,
mat. równanie algebraiczne postaci ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0);
równanie sześcienne za pomocą zamiany zmiennej x = za/3 można sprowadzić do tzw. postaci kanonicznej z3 + pz + q = 0; gdy wyróżnik D = (q/2)2 + (p/3)3 jest dodatni, to ostatnie równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i 2 pierwiastki zespolone sprzężone:
, gdzie , ;
wzory te nazywają się wzorami Cardana, uzyskał je 1545 matematyk włoski N. Tartaglia; jeżeli wyróżnik D = 0, to istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty pojedynczy i jeden podwójny:
, (gdy q ≠ 0);
gdy D < 0, istnieją 3 różne pierwiastki rzeczywiste dane wzorami , k = 0, 1, 2, gdzie φ (0 ≤ φ ≤ π) wyznacza się z warunku .
Przykład: równanie sześcienne x3 – 3x2 – x + 3 = 0 przez podstawienie x = z + 1 sprowadza się do postaci kanonicznej z3 – 4z = 0, gdzie p = –4, q  = 0, więc D = –(4/3)3 < 0
oraz zk = (4 /)cos1/3(π/2 + 2kπ)
(albowiem cosφ = 0, skąd φ = π/2); kładąc za k kolejno 0, 1, 2 znajdujemy z0 = 2, z1 = –2, z2 = 0, a stąd 3 pierwiastki równania wyjściowego x0 = 3, x1 = –1, x2 = +1.
zgłoś uwagę
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia