punkt
 
Encyklopedia PWN
punkt
[łac.],
mat. w aksjomatycznym ujęciu geometrii — jedno z pojęć pierwotnych (podobnie jak prosta i płaszczyzna); w matematyce współczesnej p. (lub elementami) są nazywane różnego rodzaju przedmioty badań mat., tworzące rozmaite zbiory (przestrzenie);
np. w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej punktem nazywa się uporządkowaną trójkę liczb rzeczywistych (x1, x2, x3); w różnych działach matematyki występują punkty o specjalnych nazwach: 1) punkt P powierzchni z = f(x, y) nazywa się punktem eliptycznym, jeżeli w nim krzywizna K > 0, punktem hiperbolicznym, jeżeli K < 0, punktem parabolicznym, jeżeli K = 0, przy czym krzywizna powierzchni K = (rt – s2)/(1 + p2 + q2)2, gdzie p = fx, q = fy, r = fxx, s = fxy, t = fyy oznaczają pochodne cząstkowe funkcji f(x, y); 2) punkt skupienia (punkt skupienia zbioru A); 3) punkt przegięcia krzywej y = f(x, y), punkt P(x0, y0), dla którego f ″(x0) = 0 i pierwsza nierówna zeru w punkcie x0 pochodna jest rzędu nieparzystego (a więc f ″′(x0) ≠ 0, f(v)(x0) ≠ 0 itd.); np. punktami przegięcia krzywej y = 1/(1 + x2) są punkty P1(–1/3; 3/4), oraz punkty P2(+1/3; 3/4), gdyż np. [1/(1 + x2)]″p1 = 0, a [1/(1 + x2)]″′p1 ≠ 0; 4) punkt regularny: a) punkt P (x0, y0) krzywej y = f(x), w którym istnieje dokładnie jedna styczna o równaniu y – y0 = f ′(x0) · (x – x0); b) punkt P(x0, y0, z0) powierzchni φ(x, y, z) = 0, w którym istnieje dokładnie jedna płaszczyzna styczna o równaniu φx(P0) · (x – x0) + φy(P0) · (y – y0) + φz (P0) · (z – z0) = 0, gdzie φx(P0) itd. oznaczają pochodne cząstkowe funkcji φ obliczone w punkcie P(x0, y0, z0); 5) punkt osobliwy: a) równania różniczkowego P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 — punkt (x, y), w którym jednocześnie P(x, y) = 0 i Q(x, y) = 0; b) krzywej F(x, y) = 0 — punkt (x, y), w którym wraz z równością F(x, y) = 0 zachodzą także równości Fx(x, y) = 0 i Fy(x, y) = 0; jeżeli przy tym w punkcie (x, y) wszystkie pochodne cząstkowe funkcji F(x, y) aż do rzędu n – 1 włącznie są równe zeru, lecz nie wszystkie n-te pochodne cząstkowe są równe zeru, to dany punkt osobliwy nazywa się punktem osobliwym n-krotnym; np. punkt (x, y) nazywa się punktem osobliwym dwukrotnym, jeżeli Fxx = Fxy = Fyy = 0; rozróżnia się 3 rodzaje punktów dwukrotnych w zależności od znaku wyróżnika W(x, y) = FxxFy – Fxy2: punkt dwukrotny (x0, y0) nazywa się punktem rozgałęzienia, gdy W(x0, y0) < 0, ostrzem krzywej F(x, y) = 0, gdy W(x0, y0) = 0, punktem odosobnionym, gdy W(x0, y0) > 0; c) funkcji y = f(x) — taki punkt a, dla którego a = ∞, albo w którym funkcja f(x) staje się nieograniczona (np. punkt 0 dla funkcji f(x) = 1/x2); 6) punkt ciągłości funkcji, dla funkcji y = f(x) punkt x0 (należący do jej dziedziny), w którym jest spełniona równość f(x0) = , tzn. w którym wartość funkcji jest równa jej granicy; może on nie być jej punktem różniczkowalności; 7) punkt nieciągłości funkcji, dla funkcji y = f(x) punkt x0 (będący punktem skupienia jej dziedziny), w którym funkcja f(x) jest nieciągła; jeżeli istnieją skończone granice oraz i są różne, to punkt x0 nazywa się punktem nieciągłości pierwszego rodzaju; gdy któraś z powyższych granic jednostronnych (lub obie jednocześnie) jest nieskończona (tj. = ±∞), to odpowiedni punkt x0 nazywa się punktem nieciągłości drugiego rodzaju; np. dla funkcji y = |x|/x punkt x0 = 0; 8) punkt zerowy funkcji, dla funkcji y = f(x) liczba x0 (należąca do jej dziedziny), spełniająca warunek f(x0 ) = 0; nazywa się go inaczej miejscem zerowym funkcji, np. funkcja y = sinx ma nieskończenie wiele punktów zerowych: x0 = kπ (k = 0, ±1, ±2, ...); 9) punkt różniczkowalności funkcji, dla funkcji y = f(x) punkt x0 (należący do jej dziedziny i będący jej punktem ciągłości), w którym istnieje i jest skończona pochodna f ′(x0); jest on jej punktem ciągłości.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia