Stone’a–Weierstrassa twierdzenie

Stone’a–Weierstrassa twierdzenie

[t. sto^una waⁱersztrasa],

mat. twierdzenie analizy mat. orzekające, że jeśli podalgebra &Akal.x; algebry C(K; ℝ) wszystkich funkcji ciągłych rzeczywistych na przestrzeni topologicznej zwartej Hausdorffa K ma 2 następujące własności: 1) funkcja stała f(x) ≡ 1 należy do &Akal.x;; 2) &Akal.x; rozdziela punkty, tzn. dla dowolnych x, y ∈ K, x ≠ y, istnieje funkcja f ∈ &Akal.x;, taka że f(x) ≠ f(y), to wówczas &Akal.x; jest podzbiorem gęstym C(K; ℝ) (w topologii zbieżności jednostajnej); w przypadku zespolonym, gdy &Akal.x; ⊂ C(K; ), trzeba jeszcze dodać założenie 3) dla każdej g ∈ &Akal.x; funkcja ḡ ∈ &Akal.x;.

Szczególnymi przypadkami t.S.–W. są następujące twierdzenia: a) każda funkcja ciągła f: [a, b] → ℝ jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu wielomianów (twierdzenie Weierstrassa); b) każda funkcja ciągła okresowa g: ℝ → ℝ o okresie 2π jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu wielomianów trygonometrycznych. Klasyczne twierdzenie Weierstrassa (1885) o aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami zostało uogólnione (t. S.–W.) 1937 przez matematyka amer. M.H. Stone’a.