Coxetera grupa

Coxetera grupa,

mat. grupa jednoznacznie wyznaczona przez skończony zbiór elementów generujących r₁,r₂,... ,r_n i relacje określające:  = e, , gdzie 2 ≤ n_ij ≤ ∞;

można ją również jednoznacznie określić przez podanie jej diagramu Coxetera bądź macierzy Coxetera, którą jest macierz [n_ij], gdzie n_ii = 1. G.C. jest np. grupa izometrii m-kąta foremnego generowana przez dwie symetrie osiowe s₁, s₂, których iloczyn s₁s₂ jest obrotem o kąt 2π/m, tzn. (s₁s₂)^m = e; jest nią także grupa S_n permutacji zbioru {1, 2, ... , n}, której generatorami jest n – 1 transpozycji t₁ = (1, 2), t₂ = (2, 3), ... , t_n-1 = (n–1, n), przy czym dla i = 1, 2, ... , n – 2 zachodzą zależności (t_it_i + 1)³ = e, a dla i – 1 ≠ j ≠ i + 1, (t_it_j)² = e.

Termin „grupa Coxetera” pochodzi od nazwiska bryt. matematyka H.S.M. Coxetera, który 1934 pierwszy zwrócił uwagę na znaczenie grup o takich własnościach dla opisu dyskretnych grup przekształceń n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, sklasyfikował wszystkie skończone g.C. i opisał ważną dla teorii grup Liego klasę nieskończonych g.C. (zw. parabolicznymi g.C.). G.C. odgrywają ważną rolę w teorii skończonych grup prostych, skończenie wymiarowych prostych grup Liego i algebr Liego. Każdą g.C. można interpretować jako podgrupę pewnej grupy liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych.