komutator
mat.:
[łac.],
komutator
Encyklopedia PWN
1) Element grupy mający postać a−1b−1ab; oznacza się go symbolem [a, b]; elementy a, b należące do grupy są przemienne wtedy, gdy ich k. [a, b] równa się jedności grupy; grupa G′ generowana przez wszystkie k. elementów grupy G nazywa się komutantem grupy G.
2) Element pierścienia mający postać a · b – b · a, oznaczany symbolem [a, b] (a, b — elementy pierścienia). Jeżeli mnożenie elementów a, b pierścienia jest przemienne, to k. [a, b] = 0. Zbiór elementów pierścienia z działaniami dodawania i komutowania [a, b] (zamiast mnożenia) tworzy pierścień Liego.
Pojęcie „komutator” znalazło zastosowanie w mechanice kwantowej; wielkościom fiz. przypisuje się w niej pewne operatory liniowe; na ogół operatory takie, jak np. A i B, nie komutują, tzn. A · B ≠ B · A, czyli ich k. [A, B] ≠ 0; w tym wypadku mechanika kwantowa przypisuje takim k. określone wartości, np. podstawowy w mechanice kwantowej k. operatora położenia x i operatora pędu p, [x, p] = iℏ; składowe Mx, My, Mz operatora momentu pędu spełniają następujące reguły komutacji: [Mx, My] = iℏMz, [My, Mz] = iℏMx, [Mz, My] = iℏMy, gdzie i =
, ℏ = h/(2π) (Plancka stała); natomiast operator M2 = Mx2 + My2 + Mz2 jest przemienny z operatorami Mx, My, Mz: [M2, Mx] = 0 itd. Z fiz. punktu widzenia komutowanie 2 operatorów oznacza możliwość jednoczesnego pomiaru odpowiadających im wielkości fizycznych. Oprócz k. występują w mechanice kwantowej antykomutatory — antykomutatorem operatorów liniowych A i B nazywa się operator AB + BA; oznacza się go symbolem {A, B} lub [A, B]+ (w celu odróżnienia od antykomutatorów k. oznacza się symbolem [A, B]−); np. operatory anihilacji as i kreacji as+ cząstek, występujące w kwantowo-polowym opisie układu fermionów, spełniają reguły antykomutacji: [as, al]+ = [as+, al+] = 0, [as, al+] = δsl, gdzie wskaźniki s, l oznaczają stany układu, δsl — deltę Kroneckera, as — operator zmniejszania o jedność liczby cząstek w stanie s, as+ — operator zwiększania o jedność liczby cząstek w stanie s.
Pojęcie „komutator” znalazło zastosowanie w mechanice kwantowej; wielkościom fiz. przypisuje się w niej pewne operatory liniowe; na ogół operatory takie, jak np. A i B, nie komutują, tzn. A · B ≠ B · A, czyli ich k. [A, B] ≠ 0; w tym wypadku mechanika kwantowa przypisuje takim k. określone wartości, np. podstawowy w mechanice kwantowej k. operatora położenia x i operatora pędu p, [x, p] = iℏ; składowe Mx, My, Mz operatora momentu pędu spełniają następujące reguły komutacji: [Mx, My] = iℏMz, [My, Mz] = iℏMx, [Mz, My] = iℏMy, gdzie i =
, ℏ = h/(2π) (Plancka stała); natomiast operator M2 = Mx2 + My2 + Mz2 jest przemienny z operatorami Mx, My, Mz: [M2, Mx] = 0 itd. Z fiz. punktu widzenia komutowanie 2 operatorów oznacza możliwość jednoczesnego pomiaru odpowiadających im wielkości fizycznych. Oprócz k. występują w mechanice kwantowej antykomutatory — antykomutatorem operatorów liniowych A i B nazywa się operator AB + BA; oznacza się go symbolem {A, B} lub [A, B]+ (w celu odróżnienia od antykomutatorów k. oznacza się symbolem [A, B]−); np. operatory anihilacji as i kreacji as+ cząstek, występujące w kwantowo-polowym opisie układu fermionów, spełniają reguły antykomutacji: [as, al]+ = [as+, al+] = 0, [as, al+] = δsl, gdzie wskaźniki s, l oznaczają stany układu, δsl — deltę Kroneckera, as — operator zmniejszania o jedność liczby cząstek w stanie s, as+ — operator zwiększania o jedność liczby cząstek w stanie s. 
