wyznacznik

wyznacznik,

mat. dla macierzy kwadratowej A = (a_ij) stopnia n o składowych a_ij z ustalonego pierścienia przemiennego R (np. z ciała) — funkcja przyporządkowująca tej macierzy element det(A)

oznaczany też symbolem det A, a definiowany wzorem:

, (∗)

w którym sumowanie odbywa się po wszystkich n! permutacjach f = α₁... α_n zbioru {1, ... , n}, a k_f oznacza liczbę inwersji w permutacji f; w każdym składniku po prawej stronie wzoru (∗) występuje dokładnie jeden element z każdego wiersza i z każdej kolumny macierzy A; dla wyznacznika stopnia drugiego

; dla wyznacznika stopnia trzeciego

Obliczanie wyznacznika stopni wyższych niż 3 jest nieco bardziej pracochłonne: det A = a_k1A_k1 + a_k2A_k2 +... + a_kA_kn, gdzie a_k1, ... , a_kn są elementami k-tego wiersza pomnożonymi kolejno przez tzw. dopełnienia algebraiczne tych elementów (dopełnieniem algebraicznym elementu a_kl jest liczba A_kl = (−1)^k+1M_kl, gdzie M_kl jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez wykreślenie w niej k-tego wiersza i l-tej kolumny; tak więc obliczenie wyznacznika stopnia n sprowadza się do obliczenia wyznacznika stopni niższych. Wyznaczniki mają wiele ciekawych własności, np.: 1) wyznacznik, w którym jakiś wiersz lub jakaś kolumna składa się z samych zer, równy jest zeru; 2) obrócenie macierzy (kwadratowej) dookoła jej głównej przekątnej o 180° nie zmienia jej wyznacznika; 3) zamiana miejscami 2 sąsiednich wierszy lub kolumn zmienia znak wyznacznika na przeciwny; 4) jeśli w macierzy wiersze lub 2 kolumny są takie same lub proporcjonalne, to wyznacznik jest równy zeru; 5) pomnożenie wiersza lub kolumny przez liczbę c sprowadza się do pomnożenia całego wyznacznika przez c; 6) det(AB) = det A · detB. Wyznaczniki znajdują szerokie zastosowanie, m.in. przy rozwiązywaniu równań liniowych.