Sierpińskiego dywan

Sierpińskiego dywan,

mat. zbiór punktów płaszczyzny będący częścią wspólną zstępującego ciągu zbiorów:

D₁ ⊃ D₂ ⊃ D₃ ⊃ ... , w którym kolejne elementy ciągu uzyskuje się w wyniku następującej konstrukcji: D₁ — kwadrat o boku 1 dzieli się na 9 jednakowych kwadratów o boku 1/3, a następnie wyrzuca się wnętrze kwadratu środkowego, D₂ powstaje z D₁ przez podział każdego z pozostałych w nim 8 kwadratów na kwadraty o boku 1/9 i usunięcie w każdym jednego kwadratu środkowego (czyli D₂ jest utworzony z 64 kwadratów o boku 1/9) itd.; czyli każdy kolejny zbiór D_{n + 1} powstaje przez podział kwadratów „składających się” na D_n na kwadraty o boku 3 razy mniejszym i przez usunięcie kwadratów środkowego (rys.). Skonstruowany 1915 przez W. Sierpińskiego, stanowi jeden z pierwszych fraktali. Jest tzw. uniwersalną krzywą płaską, tzn. że dowolna krzywa leżąca na płaszczyźnie jest homeomorficzna (homeomorfizm) z jego podzbiorem; jest kontinuum lokalnie spójnym, czyli daje się przedstawić jako ciągły obraz odcinka. Miara d.S. jest równa 0, jednak gdyby w kolejnych krokach konstrukcji usuwać kwadraty o odpowiednio mniejszych bokach, powstałby zbiór homeomorficzny o mierze dodatniej. Odpowiednikiem d.S. w przestrzeni trójwymiarowej jest krzywa zw. kostką lub gąbką Mengera (K. Menger Dimensiontheorie 1928) — w jej konstrukcji z  sześcianu usuwa się kanały, tak że każda ze ścian staje się d.S.

Możliwe są też inne konstrukcje będące modyfikacją d.S., prowadzące do fraktali; np. trójkąt Sierpińskiego, czyli zbiór będący częścią wspólną zstępującego ciągu zbiorów T₁ ⊃ T₂ ⊃ T₃ ⊃ ... , gdzie T₁ jest trójkątem równobocznym o boku długości 1, podzielonym odcinkami łączącymi środki boków na 4 trójkąty równoboczne o boku 1/2 i z usuniętym wnętrzem trójkąta środkowego, a T_{n + 1} powstaje z T_n przez podobny podział i usunięcie z każdego z 3ⁿ występujących w T_n trójkątów wnętrza środkowego trójkąta o boku 2 razy mniejszym; taka konstrukcja, w przeciwieństwie do konstrukcji oryginalnego d.S., daje krzywą nie będącą uniwersalną krzywą płaską.

Juliusz Olędzki