rozkład zmiennej losowej

rozkład zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa,

mat. miara prawdopodobieństwa wyznaczona przez zmienną losową w zbiorze jej możliwych wartości.

W praktyce najczęściej używa się zmiennych losowych o wartościach liczbowych — wówczas ich rozkłady są miarami na prostej; jeżeli X oznacza zmienną losową, to jej rozkład jest wyznaczony przez przyporządkowanie każdemu przedziałowi (a, b) prawdopodobieństwa, że zmienna losowa X przyjmie wartość z tego przedziału P(a ≤ X ≤ b); dla zmiennych losowych ciągłych najwygodniej jest podać to przyporządkowanie za pomocą tzw. gęstości prawdopodobieństwa, tj. nieujemnej funkcji rzeczywistej f(x) takiej, że ; dla zmiennych losowych skokowych podaje się zazwyczaj zbiór możliwych wartości x₁, x₂, ... tej zmiennej oraz odpowiadające tym wartościom prawdopodobieństwa p₁, p₂, ...; rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X można również wyznaczyć przez podanie tzw. funkcji charakterystycznej, tj. funkcji φ(t) = E(e^itX), gdzie: t — liczba rzeczywista, i — jednostka urojona, a E(Y) oznacza wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y.

Do najczęściej występujących rozkładów typu ciągłego należą: rozład normalny (rozkład Gaussa), o gęstości danej wzorem , gdzie m — wartość średnia, σ ² wariancja tej zmiennej losowej (σ  > 0); rozkład normalny pojawia się w zagadnieniach praktycznych, tam, gdzie na wynik ma wpływ duża liczba niezależnie działających czynników, z których każdy z osobna ma jedynie znikomy wpływ (np. odchylenia przypadkowe przy niezależnych pomiarach tej samej wielkości); rozkład wykładniczy, określony gęstością f(x) = ae^–ax dla x ≥ 0 i f(x) = 0 dla x < 0, gdzie a > 0 jest stałą; rozkład wykładniczy pojawia się np. przy badaniu odległości czasowej emisji cząstek przez daną substancję radioaktywną — prawdopodobieństwo emisji nowej cząstki w danym odcinku czasu zależy jedynie od jego długości, a nie zależy od tego, kiedy była emitowana poprzednia cząstka; innymi często występującymi w statystyce rozkładami ciągłymi są: rozkład χ² oraz rozkład t-Studenta.

Do najczęściej pojawiających się rozkładów nieciągłych (skokowych, dyskretnych) należą: rozkład dwumianowy (rozkład Bernoulliego), określany przez prawdopodobieństwa , gdzie p jest liczbą zawartą między 0 i 1 (n! = 1 · 2 · 3 · ... · n); rozkład dwumianowy podaje prawdopodobieństwo zaobserwowania k sukcesów w n niezależnych doświadczeniach (np. w n kolejnych rzutach monetą), z których każde może dać w wyniku sukces z prawdopodobieństwem p; rozkład Poissona, określany przez prawdopodobieństwa P(X = k) = (λ^k/k!)e^–λ, gdzie k = 0, 1, 2, ... , a λ jest ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią; wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona równa się EX = D²X = λ; rozkład ten pojawia się np. w przypadku obserwowania łącznej liczby zdarzeń (sukcesów) w dużej liczbie doświadczeń, gdy w każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo sukcesu jest małe (np. liczba milionowych wygranych w totolotku co tydzień, łączna liczba wypadków ulicznych w ciągu dnia).