norma

norma

[łac.],

mat. uogólnienie pojęcia wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i długości wektora; n. w przestrzeni liniowej X nad ciałem liczb rzeczywistych (bądź zespolonych) nazywa się każdą funkcję ∥·∥ X → ℝ spełniającą następujące trzy warunki: (1) ∥ x∥ ≥ 0 dla każdego wektora x ∈ X, przy czym ∥ x∥ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 (tzn. gdy x jest wektorem zerowym), (2) ∥ tx∥ = |t| · ∥ x∥ dla każdej liczby t i każdego wektora x ∈ X, (3) ∥ x + y∥ ≤ ∥ x∥ + ∥ y∥ dla wszystkich wektorów x, y ∈ X (nierówność trójkąta);

normą nazywa się funkcjonał (oznaczany symbolem ||x||) określony na elementach x, y, ... przestrzeni liniowej X, spełniający następujące warunki:

1) ||x|| ≥ 0, przy tym ||x|| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 (0 — element zerowy);

2) ||ax | = |a| · ||x||, gdzie a — liczba;

3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||;

przestrzeń X, na której jest określona norma, nazywa się przestrzenią unormowaną; jeśli określi się w niej odległość ρ(x, y) między elementami x i y wg wzoru ρ(x, y) = ||x – y||, to stanie się ona przestrzenią metryczną; przykłady przestrzeni unormowanych: zbiór X funkcji ciągłych x(t) na odcinku 〈0, 1〉 z normą ||x(t)|| = max |x(t)|; zbiór X funkcji x(t) na odcinku 〈0, 1〉 takich, że

dla p ≥ 1.