przestrzeń metryczna

przestrzeń metryczna,

mat. jedno z podstawowych pojęć matematyki: zbiór X wraz z funkcją ρ, zwaną metryką, przyporządkowującą każdej parze elementów x, y tego zbioru odległość między nimi ρ(x, y), przy czym dla dowolnych x, y, z ∈ X zachodzi: 1) ρ(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2) ρ(x, y) = ρ(y, x), 3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) (nierówność trójkąta).

Przykłady przestrzeni metrycznych: 1) zbiór liczb rzeczywistych ℝ z metryką ρ(x, y) = |x − y|; 2) przestrzeń kartezjańska ℝⁿ, czyli zbiór wszystkich n-elementowych ciągów liczb rzeczywistych (x₁, x₂, ... , x_n), z metryką ρ((x₁, x₂, ... , x_n), (y₁, y₂, ... , y_n)) = ; 3) zbiór liczb zespolonych z metryką ρ(z₁, z₂) = |z₁ − z₂|; 4) zbiór C([a, b]) wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale domkniętym [a, b] o wartościach rzeczywistych, z metryką ρ(f, g) = max {|f(x) − g(x)|: x ∈ [a, b]}; 5) przestrzeń dyskretna — dowolny zbiór X, w którym odległość między różnymi punktami jest zawsze równa 1, a między punktem i nim samym = 0.