K-teoria

K-teoria,

mat. teoria mająca swoje korzenie w topologii algebraicznej, w oryginalnej formie (topologicznaK-teoria) — metoda badania przestrzeni topologicznych X, polegająca na studiowaniu wiązek wektorowych nad X.

Istnieje konstrukcja, zw. K-funktorem Grothendiecka, w naturalny sposób wiążąca każdą półgrupę przemienną z pewną grupą przemienną (której elementy można nie tylko dodawać, ale także odejmować); np. po zastosowaniu tego funktora do zbioru liczb naturalnych otrzymuje się zbiór liczb całkowitych. Funktor Grothendiecka, zastosowany do półgrupy wiązek rzeczywistych bądź zespolonych nad X, daje odpowiednio grupę K(X) rzeczywistej bądź zespolonej K-t. Uzyskane w ten sposób nowe narzędzia algebraiczne mogą być używane do badania własności przestrzeni X. Przy ich zastosowaniu osiągnięto spektakularne rozwiązania kilku klas. problemów topologii, jak np. wyznaczenie liczby liniowo niezależnych pól wektorowych na sferach dowolnego wymiaru (J.F. Adams, 1962) czy też dowód, że przestrzeń ℝⁿ ma ciągłe, ℝ-dwuliniowe mnożenie bez dzielników zera tylko dla n = 1, 2, 4, 8; odkryto także nowe, ważne związki między analizą mat. i topologią (np. twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie różniczkowych operatorów eliptycznych).

Topologiczna K-t. może być uogólniona do algebraicznejK-t. Dla dowolnego (niekoniecznie przemiennego) pierścienia R rozważa się półgrupę skończenie generowanych tzw. R-modułów projektywnych; zastosowanie do tej półgrupy funktora Grothendiecka prowadzi do grupy abelowej K(R), zw. algebraiczną K-t. pierścienia R. Gdy R jest pierścieniem funkcji ciągłych na X, otrzymuje się grupę K(X). Zastosowania K-t. w tym kształcie sięgają daleko poza topologię — znajduje ona zastosowanie w geometrii algebraicznej, teorii równań różniczkowych, teorii algebr Banacha, teorii pierścieni i in.

Zbigniew Marciniak