jednoznaczność rozkładu

jednoznaczność rozkładu,

mat. pojęcie algebraiczne najczęściej definiowane dla pierścieni, rzadziej dla innych algebr ogólnych (np. dla półgrup).

Dla R będącego pierścieniem całkowitym (pierścień przemienny z jedynką, bez dzielników zera) element u ∈ R nazywa się jednostką (elementem odwracalnym), gdy u⁻¹ ∈ R. Element a dzieli b w R (co zapisuje się: a|b), gdy b = ac dla pewnego c ∈ R. Niezerowy element nieodwracalny p ∈ R nazywa się elementem nierozkładalnym w R, gdy dla dowolnych a, b z R równość p = ab implikuje, że a jest jednostką lub b jest jednostką w R; np. elementami nierozkładalnymi w pierścieniu Z liczb całkowitych są liczby pierwsze, natomiast w pierścieniu K[X] wielomianów zmiennej X o współczynnikach z ciała K — wielomiany nieprzywiedlne (nierozkładalne) nad K, tzn. takie, które nie są iloczynami wielomianów niższego stopnia o współczynnikach z K. Mówi się, że w pierścieniu R zachodzi j.r. na czynniki (albo że R jest pierścieniem z j.r., w skrócie: UFD, z ang. unique factorization domain), gdy każdy niezerowy i nieodwracalny element a ∈ R można zapisać jednoznacznie w postaci iloczynu elementów nierozkładalnych, tzn. jeżeli a = p₁p₂...p_n = q₁q₂...q_m są dwoma dowolnymi rozkładami a na iloczyny czynników p₁, p₂, ... , p_n, q₁, q₂, ... , q_m, nierozkładalnych w R, to n = m i można tak przestawić te czynniki, aby p_k|q_k i q_k|p_k dla każdego k = 1, 2, ... , n. J.r. zachodzi np. w Z i K[X] — jest konsekwencją algorytmu dzielenia z resztą w tych pierścieniach. Pierścieniami z j.r. są także pierścienie wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach całkowitych lub z ustalonego ciała, np. z ciała C liczb zespolonych.

Witold Więsław