przestrzeń Hilberta

przestrzeń Hilberta,

mat. jedno z podstawowych pojęć analizy funkcjonalnej; szczególny przypadek przestrzeni Banacha; p.H. jest przestrzenią unitarną zupełną (przestrzeń unitarna, przestrzeń zupełna ) z normą , gdzie (x, x) jest iloczynem skalarnym.

Przykłady p.H.: 1) przestrzeń kartezjańska zespolona n-wymiarowa z iloczynem skalarnym , gdzie x = (x₁, x₂, ... , x_n), y = (y₁, y₂, ... , y_n) — punkty tej przestrzeni, a kreska oznacza sprzężenie zespolone; 2) przestrzeń l² wszystkich ciągów zespolonych , spełniających warunek , z iloczynem skalarnym ; 3) przestrzeń L²([0, 1]) wszystkich funkcji całkowalnych z kwadratem na odcinku [0, 1], z iloczynem skalarnym .

Każda ośrodkowa p.H. (przestrzeń ośrodkowa ) nad ciałem liczb zespolonych jest izometrycznie izomorficzna zarówno z L²([0, 1]), jak i l² (izomorfizm przestrzeni L²([0, 1]) i l² otrzymuje się, utożsamiając funkcję całkowalną z kwadratem z ciągiem współczynników jej rozwinięcia w szereg Fouriera), jednakże, z uwagi na wygodę, w różnorodnych zastosowaniach rozważa się wiele innych p.H., np. przestrzenie funkcji całkowalnych z kwadratem wraz ze wszystkimi swymi pochodnymi aż do ustalonego rzędu m włącznie.

P.H. jest naturalnym uogólnieniem przestrzeni euklidesowej; spośród wszystkich przestrzeni Banacha wyróżnia ją tzw. tożsamość równoległoboku, ||x+y||²+||x−y||²=2(||x||²+||y||²), zachodząca dla wszystkich wektorów x, y dowolnej p.H.

P.H. znajdują szerokie zastosowanie m.in. w teorii funkcji rzeczywistych, teorii równań różniczkowych i całkowych, w mechanice kwantowej, w kwantowej teorii pola. W szczególności, w opisie układu kwantowo-mech. stany układu są interpretowane jako wektory pewnej p.H., np. przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na przestrzeni euklidesowej, a obserwowane wielkości (energia, moment pędu, położenie cząstek itd.) — jako operatory samosprzężone na tej przestrzeni. Z tego m.in. względu teoria operatorów liniowych na p.H. jest jedną z najlepiej rozwiniętych gałęzi analizy funkcjonalnej. Pojęcie p.H. wprowadził do matematyki D. Hilbert na przeł. XIX i XX w.

Paweł Strzelecki