Hausdorffa wymiar

Hausdorffa wymiar,

mat. nieujemna liczba rzeczywista r przypisana przestrzeni metrycznej X wg następującej procedury: 1) dla liczb rzeczywistych p ≥ 0 i d > 0 rozpatruje się pokrycia przestrzeni X kulami o środkach w punktach x_i ∈ X i średnicach d_i ≤ d, i = 1, 2, ... (dopuszcza się również skończoną liczbę kul), 2) znajduje się kres dolny m_d liczb po wszystkich takich pokryciach i wylicza granicę (m jest tzw. p-wymiarową miarą Hausdorffa przestrzeni X), 3) jako r przyjmuje się taką liczbę, by m dla p > r było nieskończonością, dla p = r liczbą skończoną, a dla p < r (o ile r > 0) — równą 0 (tylko dla jednej wartości p miara Hausdorffa może być dodatnia i skończona).

W definicji w.H. można rozpatrywać pokrycia innymi zbiorami niż kule oraz inne liczby przyporządkowane średnicy d_i niż (funkcje Hausdorffa); może to prowadzić do innej wartości w.H. Wymiar przestrzeni nie będący liczbą całkowitą wprowadził F. Hausdorff (wymiar). W.H. jest większy lub równy wymiarowi topologicznemu przestrzeni; jest podstawowym narzędziem w badaniu fraktali, zbiorów mających w.H. inny niż topologiczny (np. w.H. zbioru Cantora jest równy log₃2 ≈ 0,63, podczas gdy jego wymiar topologiczny wynosi 0).