geometria różniczkowa

geometria różniczkowa,

dział geometrii, w którym badania różnego rodzaju przestrzeni i ich podzbiorów (figur geom., obiektów) prowadzi się za pomocą metod analizy mat. (rachunku różniczkowego i całkowego).

geometria różniczkowa zajmuje się badaniem lokalnych ogólnych własności krzywych i powierzchni, także rodzin krzywych i powierzchni, wyrażonych równaniami w przestrzeniach trój- i więcejwymiarowych; przedmiotem klasycznej geometrii różniczkowej jest badanie tych własności tworów geom., które są niezmiennikami grupy ruchów (ruch, mat.); nowsza geometria różniczkowa bada własności tworów geom. niezmiennicze względem przekształceń afinicznych (geometria różniczkowa afiniczna), rzutowych (geometria różniczkowa rzutowa) i in.; geometria różniczkowa zajmuje się również badaniem własności tworów geom. w wielowymiarowych przestrzeniach nieeuklidesowych, jak też badaniem samych tych przestrzeni — odgrywają one ważną rolę w fizyce, zwłaszcza w szczególnej i ogólnej teorii względności. Podstawowymi pojęciami geometrii różniczkowej krzywych i powierzchni są m.in. pojęcia: stycznej, normalnej gł., binormalnej, krzywizny, skręcenia (trójścian Fréneta), płaszczyzny ściśle stycznej, płaszczyzny stycznej, ewoluty, ewolwenty, współrz. krzywoliniowych na powierzchni, długości łuku, obu różniczkowych form podstawowych (określających wewn. geometrię metryczną powierzchni, czyli dających możliwość przeprowadzenia pomiarów długości łuków, kątów między liniami na powierzchni, pól części powierzchni itp.).

Geometria różniczkowa w swoim rozwoju podlegała uogólnieniom w rozmaitych kierunkach; przyczyną tych uogólnień były m.in. potrzeby mechaniki, fizyki teoret. i techniki; wprowadzono pojęcie przestrzeni wielowymiarowej, badano rozmaite podzbiory tych przestrzeni, co doprowadziło do powstania ważnego pojęcia rozmaitości różniczkowej — np. zwyczajna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej jest przykładem rozmaitości dwuwymiarowej (w szczególności sfera, torus); dalsze uogólnienia doprowadziły do wprowadzenia nowego ważnego pojęcia: przestrzeni Riemanna, której geometria jest na ogół nieeuklidesowa.

Początki geometrii różniczkowej przypadają na 2. poł. XVII w. (prace: I. Newtona, G.W. Leibniza, Ch. Huygensa, Johanna i Jakoba Bernoullich i in.); podstawy teorii powierzchni zapoczątkowali L. Euler i G. Monge; wewn. geometrię powierzchni znacznie rozwinął C.F. Gauss; przełomowe były prace N. Łobaczewskiego, J. Bólyaia i B. Riemanna, zapoczątkowujące badania nad geometriami nieeuklidesowymi; dalszy rozwój geometrii różniczkowej następował w parze z rozwojem rachunku tensorowego.