krzywa eliptyczna

krzywa eliptyczna,

mat. nieosobliwa krzywa płaska opisana równaniem y² = x³ + ax + b, przy czym nieosobliwość krzywej sprowadza się do założenia, że wielomian x³ + ax + b nie ma pierwiastków wielokrotnych, co można też wyrazić warunkiem 4a³ + 27 b² ≠ 0.

badania k.e. zostały zapoczątkowane w końcu XVII w. w wyniku trudności z całkowaniem funkcji wymiernych R(x, y), gdzie x, y są związane zależnością postaci y² = w(x), w(x) jest zaś wielomianem stopnia 3 lub 4 — przy czym potrzeba obliczania takich całek, zw. eliptycznymi, była związana z rozwiązywaniem wielu zagadnień geometrii różniczkowej (np. obliczanie długości łuku elipsy) i mechaniki teoretycznej. Ze względu na związki z teorią liczb szczególnie interesujące są k.e., dla których parametry równania a, b są liczbami wymiernymi; wymierne k.e. odegrały kluczową rolę w podanym przez A. Wilesa dowodzie Wielkiego twierdzenia Fermata.