dualność

dualność

[łac.],

dwoistość,

mat. występująca w różnych teoriach mat. wewn. symetria pojęć, która twierdzeniom, relacjom lub obiektom A takiej teorii pozwala przypisywać twierdzenia, relacje lub obiekty dualne A* (na ogół różne od A) tej samej teorii, przy czym zachodzi: (A*)* = A.

Przykłady: 1) w geometrii elementarnej — wielościan dualny do wielościanu foremnego W powstaje przez połączenie krawędziami środków ścian wielościanu W (np. wielościanem dualnym do sześcianu jest ośmiościan foremny; rys.); 2) w teorii grup — grupą dualną do grupy abelowej G (grupa, mat. ) nazywa się grupę Ĝ jej charakterów, tzn. homomorfizmów grupy G w grupę liczb zespolonych o module 1 (okrąg jednostkowy); 3) w teorii przestrzeni liniowych — przestrzenią dualną do przestrzeni liniowej V nazywa się przestrzeń liniową V* wszystkich funkcjonałów liniowych na V, tzn. homomorfizmów liniowych z V w zbiór liczb rzeczywistych ℝ; przestrzenie V i V* są izomorficzne, jednak w wielu rozważaniach jest istotne ich rozróżnianie, np. każdemu przekształceniu liniowemu f: V → W odpowiada przekształcenie liniowe dualne f*: W* → V* (odwrócenie kierunku); 4) w geometrii rzutowej dla każdego wymiaru n prawdziwa jest tzw. zasada d., którą dla płaszczyzny i przestrzeni pierwszy sformułował J.V. Poncelet (1822). W wymiarze drugim, tzn. na płaszczyźnie rzutowej, zasada d. głosi, że jeśli w twierdzeniu punkty zamieni się na proste i proste na punkty, a zachowa relacje incydencji i porządku, to otrzymuje się twierdzenie o płaszczyźnie rzutowej; np. twierdzenie „2 różne punkty są incydentne z jedną i tylko jedną prostą” (tzn. przez 2 różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta) przechodzi na twierdzenie „2 różne proste są incydentne z jednym i tylko jednym punktem” (2 różne proste mają jeden i tylko jeden punkt wspólny). Historycznie twierdzenia dualne były nieraz dowodzone osobno, bez zdawania sobie sprawy z ich d., np. dualne do twierdzenia Desarguesa jest twierdzenie do niego odwrotne (Desarguesa twierdzenie); dualne okazały się także: twierdzenie Pascala z 1640 (w sześcioboku wpisanym w krzywą stożkową punkty przecięcia przeciwległych boków leżą na jednej prostej) i twierdzenie Brianchona z 1806 (w sześcioboku opisanym na krzywej stożkowej proste łączące przeciwległe wierzchołki przecinają się w jednym punkcie); 5) w teorii kategorii (kategoria) twierdzenie dualne do danego otrzymuje się przez odwrócenie w diagramie kierunku strzałek i porządku składania, z pozostawieniem bez zmiany operacji logicznych.

Występowanie d. wzbogaca teorie mat. i wzmacnia ich środki dowodowe.

Roman Duda