ciało

ciało,

mat. zbiór K z dwoma działaniami, zwany dodawaniem (+) i mnożeniem (·), spełniającymi dla dowolnych elementów a, b, c ∈ K następujące warunki: 1) a + b = b + a, przemienność dodawania; 2) a + (b + c) = (a + b) + c, łączność dodawania; 3) ab = ba, przemienność mnożenia; 4) a(bc) = (ab)c, łączność mnożenia; 5) a(b + c) = ab + ac, rozdzielność mnożenia względem dodawania; 6) istnieją elementy 0, 1 ∈ K, 0 ≠ 1, zwane odpowiednio zerem i jednością ciała K, takie że 0 + a = a i 1· a = a; 7) dla każdego a ∈ K istnieje b ∈ K, takie że a + b = 0 (wykonalność odejmowania); 8) dla każdego a ∈ K, a ≠ 0, istnieje c ∈ K, takie że ac = 1 (wykonalność dzielenia).

Charakterystyką ciała nazywa się najmniejszą liczbę naturalną n taką, że 1 + 1 + ... + 1 (n razy) = 0, a jeżeli takiej liczby nie ma, to charakterystyka ciała jest z definicji równa zeru. Przykładami ciał o charakterystyce 0 są: zbiór liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych, zbiór funkcji wymiernych ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia. Przykładem ciała o charakterystyce różnej od zera jest ciało reszt modulo liczba pierwsza (kongruencja).