funkcje analityczne

funkcje analityczne,

mat. funkcje, które mogą być przedstawione lokalnie w postaci sumy szeregu potęgowego;

obejmują one m.in. funkcje wielomianowe, wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, kołowe, specjalne. Funkcja zespolona zmiennej zespolonej w = f(z), określona w obszarze D płaszczyzny zespolonej, nazywa się funkcją analityczną w punkcie z₀ należącym do obszaru D, jeżeli w otoczeniu tego punktu daje się przedstawić w postaci szeregu potęgowego:

f(z) = a₀ + a₁(z – z₀) + a₂(z – z₀)² + ...

Funkcja f(z) analityczna w punkcie z₀ ma w tym punkcie wszystkie pochodne, przy czym pochodna rzędu n wyraża się wzorem f⁽ⁿ⁾(z₀) = n!a_n (n = 0, 1, 2, ...; szereg Taylora). Funkcja f(z) nazywa się funkcją analityczną w obszarze D, jeżeli jest analityczna w każdym punkcie tego obszaru. Funkcję f(z), analityczną w pewnym obszarze, można zapisać następująco: f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), przy czym funkcje rzeczywiste u i v spełniają równania Cauchy’ego–Riemanna:

∂u/∂x = ∂v/∂y i ∂u/ ∂y = –∂v/∂x.

Przykłady funkcji analitycznych:

e^z = 1 + z + z²/2! +... + zⁿ/n! + ...

sin z = z – z³/3! + z⁵/5! – ...

cos z = 1 –z²/2! + z⁴/4! – ...

Funkcje analityczne mają liczne zastosowania w fizyce i technice.