wiązka styczna

wiązka styczna,

mat. dla rozmaitości różniczkowej M — wiązka wektorowa π: TM → M, gdzie włóknem jest przestrzeń styczna T_pM do rozmaitości M w punkcie p ∈ M, tj. przestrzeń wektorowa składająca się ze stycznych do rozmaitości w zadanym punkcie.

Dokładniej, jeśli M jest rozmaitością różniczkową, a C^∞(M) oznacza zbiór funkcji gładkich na M, to odwzorowanie liniowe v: C^∞(M) → C^∞(M), spełniające warunek v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g) jest nazywane wektorem stycznym do M w punkcie p ∈ M. Formalnie jest to tzw. różniczkowanie lub derywacja w algebrze C^∞(M), a intuicja tego określenia nawiązuje do pochodnej kierunkowej w punkcie p funkcji f w kierunku odpowiedniego wektora. Zbiór takich odwzorowań, wyposażony w strukturę przestrzeni wektorowej, jest nazywany przestrzenią styczną i oznaczany T_pM. Inny sposób definiowania przestrzeni stycznej opiera się na intuicji pojęcia wektora stycznego do krzywej na powierzchni.

Na przestrzeni TM w naturalny sposób wprowadza się strukturę rozmaitości różniczkowej. Pojęcie „wiązka styczna” jest uogólnieniem pojęcia prostej stycznej do krzywej oraz płaszczyzny stycznej do powierzchni i odgrywa bardzo ważną rolę w globalnym ujęciu problemów z geometrii różniczkowej. Za pomocą w.s. definiuje się pojęcia pola wektorowego na rozmaitości, pola tensorowego i in.