układ równań liniowych
Encyklopedia PWN
Dowolny układ m równań liniowych z n niewiadomymi x1, ... , xn, o współczynnikach aij, bk ∈ K (K — ustalone ciało, np. zbiór ℝ liczb rzeczywistych), ma postać (*) 
. Każdy u.r.l. można zapisać w postaci liniowego równania macierzowego Ax = b, w którym A jest macierzą zbudowaną ze współczynników aij tego u.r.l., x — kolumną o współrzędnych x1, ... , xn, a b — kolumną wyrazów wolnych b1, ... , bm. Ch.L. Dodgson, znany pod pisarskim pseud. L. Carroll, 1867 udowodnił, że u.r.l. (*) jest rozwiązalny wtedy i tylko wtedy, gdy maks. liczba liniowo niezależnych wierszy (kolumn) macierzy A jest równa maks. liczbie liniowo niezależnych wierszy (kolumn) macierzy B, powstałej przez dopisanie b do macierzy A jako ostatniej kolumny. G. Frobenius (1879) nazwał tę liczbę rzędem macierzy i podał sposób jej obliczania. Rząd macierzy jest równy r, jeżeli istnieje różny od zera podwyznacznikr × r tej macierzy i każdy jej podwyznacznik stopnia (r + 1) × (r + 1), który go zawiera, jest równy zero; np. u.r.l. (**) 
ma rozwiązanie, bo rząd(A) = rząd(B) = 2, gdzie A = 
, B = 
. Ponieważ 2 pierwsze wiersze macierzy B są liniowo niezależne i jej podwyznacznik 
jest różny od zera, więc u.r.l. (**) redukuje się do 2 pierwszych równań: x1 + x2 + 2x3 − x4 = 1, x1 − x2 + 2x3 + x4 = 1; rozwiązuje się go przyjmując za parametry x3 = s, x4 = t i np. stosując wzory Cramera, co daje x1 = 1 − 2s, x2 = t, x3 = s, x4 = t.
. Każdy u.r.l. można zapisać w postaci liniowego równania macierzowego Ax = b, w którym A jest macierzą zbudowaną ze współczynników aij tego u.r.l., x — kolumną o współrzędnych x1, ... , xn, a b — kolumną wyrazów wolnych b1, ... , bm. Ch.L. Dodgson, znany pod pisarskim pseud. L. Carroll, 1867 udowodnił, że u.r.l. (*) jest rozwiązalny wtedy i tylko wtedy, gdy maks. liczba liniowo niezależnych wierszy (kolumn) macierzy A jest równa maks. liczbie liniowo niezależnych wierszy (kolumn) macierzy B, powstałej przez dopisanie b do macierzy A jako ostatniej kolumny. G. Frobenius (1879) nazwał tę liczbę rzędem macierzy i podał sposób jej obliczania. Rząd macierzy jest równy r, jeżeli istnieje różny od zera podwyznacznikr × r tej macierzy i każdy jej podwyznacznik stopnia (r + 1) × (r + 1), który go zawiera, jest równy zero; np. u.r.l. (**) ma rozwiązanie, bo rząd(A) = rząd(B) = 2, gdzie A = , B = . Ponieważ 2 pierwsze wiersze macierzy B są liniowo niezależne i jej podwyznacznik jest różny od zera, więc u.r.l. (**) redukuje się do 2 pierwszych równań: x1 + x2 + 2x3 − x4 = 1, x1 − x2 + 2x3 + x4 = 1; rozwiązuje się go przyjmując za parametry x3 = s, x4 = t i np. stosując wzory Cramera, co daje x1 = 1 − 2s, x2 = t, x3 = s, x4 = t. Witold Więsław
