martyngał

martyngał

[ang. martingale],

mat. proces stochastyczny (X_t), dla którego warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X_t, przy znajomości przebiegu procesu do pewnej chwili s (s < t), jest z prawdopodobieństwem 1 równa wartości zmiennej losowej X_s.

Własność tę można zapisać symbolicznie wzorem E(X_t|ℱ_s) = X_s, przy czym ℱ_s oznacza σ-ciało zbiorów złożone ze zdarzeń, o których wiadomo, czy zaszły do chwili s. Najprostszym przykładem martyngału (z czasem dyskretnym t = 0, 1, 2, ...) jest błądzenie symetryczne po punktach całkowitoliczbowych na prostej (X_n oznacza położenie w chwili n) — jeżeli w chwili n wiadomo, że proces znajduje się w punkcie x, to wartość oczekiwana położenia procesu, obliczona dla dowolnego przyszłego momentu m, pozostaje równa x. Naturalnym uogólnieniem powyższego przykładu do sytuacji ciągłej jest proces Wienera, będący również martyngałem (z czasem ciągłym). Intuicyjnie pojęcie martyngału jest związane z potocznym pojmowaniem gry sprawiedliwej: jeżeli X_t oznacza sumaryczną wygraną gracza do chwili t, to jeżeli jest znany przebieg gry do chwili s, to oczekuje się, by średnia sumaryczna wygrana w dowolnie wybranej przyszłej chwili t (t > s) była taka sama, jak wygrana uzyskana do chwili s. Ważna własność martyngału jest sformułowana w twierdzeniu Dooba: każdy nieujemny martyngał jest zbieżny prawie na pewno (zbieżność). Nazwa „martyngał” została wprowadzona 1939 przez J. Ville’a (1910–88); dla rozwoju teorii martyngału największe znaczenie miały prace J.L. Dooba. Martyngały znajdują zastosowanie w teorii gier, w analizie stochastycznej, statystyce matematycznej, modelowaniu cen akcji giełdowych i ogólniej — w matematyce finansowej (podana w definicji własność martyngału wyraża brak arbitrażu).

Katarzyna Pietruska-Pałuba