liczbowe systemy
 
Encyklopedia
liczbowe systemy,
mat. metody zapisywania liczb całkowitych lub rzeczywistych.
Systemy liczbowe dzielą się na pozycyjne i addytywne. Do najczęściej stosowanych pozycyjnych systemów liczbowych należą: system dziesiętny (dziesiątkowy), system dwójkowy (binarny) i system szesnastkowy (heksadecymalny). Przy zapisywaniu liczb w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie g ≥ 2 używa się cyfr arabskich 0, 1, 2, ... , g − 1 (gdy g ≤ 10) lub cyfr arabskich i in. znaków zastępujących cyfry 10, 11, 12, ... , g − 1 (gdy g > 10), np. w systemie szesnastkowym najczęściej używa się cyfr arabskich 0, 1, 2, ... , 9 oraz liter A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. W systemach o podstawie większej od 36 jako cyfr używa się na ogół liczb ujętych w nawiasy, zapisanych w postaci dziesiętnej za pomocą cyfr arabskich. Podstawę systemu pozycyjnego zazwyczaj zapisuje się w nawiasie u dołu z prawej strony liczby. W pozycyjnym systemie liczbowym wartość cyfry zależy od jej położenia. W przypadku liczb całkowitych zapisanych w systemie dziesiętnym (g = 10) wartość cyfry jest mnożona w zależności od jej pozycji przez odpowiednią potęgę liczby 10, np. 2478 = 2·103 + 4·102 + 7·101 + 8·100 = 2000 + 400 + 70 + 8. Przy zapisywaniu liczb rzeczywistych uwzględnia się położenie cyfr względem przecinka, wartość cyfr położonych po przecinku jest mnożona przez potęgę liczby 10 o odpowiednim wykładniku ujemnym, np. 14,273 = 1·101 + 4·100 + 2·10–1 + 7·10–2 + 3·10–3 = 10 + 4 + dla ułamka dziesiętnego skończonego lub π = 3,14159... = 3·100 + 1·10–1 + 4·10–2 + 1·10–3 + 5·10–4 + 9·10–5 + ... dla ułamka dziesiętnego nieskończonego. Ogólnie, w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie g wartość cyfr mnoży się przez odpowiednie potęgi liczby g: ckgk + ck−1gk−1 + ... + c2g2 + c1g1 + c0g0 dla liczby całkowitej ckck−1...c2c1c0(g) oraz ckgk + ck−1gk−1 + ... + c1g1 + c0g0 + c−1g−1 + c−2g−2 + ... dla liczby rzeczywistej ckck−1...c2c1c0, c−1c−2...(g).
W układzie dwójkowym (g = 2) używa się tylko cyfr 0 i 1, których wartość w zależności od pozycji jest mnożona przez 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... dla cyfr położonych przed przecinkiem oraz dla cyfr położonych po przecinku, np. 11001,1101(2) = 16 + 8 + 1 + . Podobnie w systemie szesnastkowym (g = 16) wartości cyfr położonych przed przecinkiem mnoży się kolejno przez 1, 16, 256, ... , np. B2C(16) = 11·256 + 2·16 + 12·1 = 2860. Natomiast w układzie pięćdziesiątkowym liczbę 1999 zapisuje się (39)(49)(50).
Rzadziej bywają stosowane systemy liczbowe o podstawie ujemnej, np. w układzie o podstawie −5 używa się cyfr 0, 1, 2, 3, 4, które w zależności od pozycji są mnożone przez 1, −5, 25, −125, 625, ...; systemy liczbowe o ujemnej podstawie pozwalają na zapisywanie liczb ujemnych bez używania znaku „−”, np. −27 = 1·(−125) + 4·25 + 1·(−5) + 3·1 = 1413(-5). Ogólnie, w systemie o podstawie ujemnej g ≤ −2 używa się cyfr 0, 1, 2, ... , − g −1.
Opisane wyżej systemy pozycyjne noszą nazwę jednorodnych pozycyjnych systemów liczbowych. Oprócz tego są stosowane niejednorodne pozycyjne systemy liczbowe W takich systemach zamiast potęg podstawy systemu obiera się za układ jednostek numeracji ciąg multiplikatywny liczb całkowitych g0, g1, g2, g3, ... , gdzie g0 = ±1 oraz gi+1 = pig i dla pewnych liczb całkowitych p0, p1, p2, p3, ... (gdzie |pi| ≥ 2). Liczba pi jest zwana podstawą numeracji i-tego rzędu. Mówiąc obrazowo, pi jednostek i-tego rzędu tworzy jedną jednostkę rzędu (i+1)-ego. W jednorodnym systemie numeracji podstawy wszystkich rzędów są równe. W najczęściej spotykanych niejednorodnych systemach numeracji podstawami numeracji jednostek są 2 liczby występujące na przemian. W numeracji rzymskiej występują zaczątki systemu piątkowo-dwójkowego, gdyż jest on oparty na następującym układzie jednostek: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, ... W zabytkach pisma klinowego Sumerów z III tysiąclecia p.n.e. natrafiono na zaczątki systemu dziesiątkowo-szóstkowego. W tym systemie podstawami numeracji jednostek są na przemian liczby 10 i 6, a układ jednostek stanowią liczby 1, 10, 60, 600, 3600, 36000, 216000, ... Pierwszy pozycyjny system liczbowy (sześćdziesiątkowy) wprowadzili ok. V w. p.n.e. astronomowie chaldejscy. Wynaleźli oni również zero pozycyjne. Niezależnie wynaleźli je też starożytni Majowie oraz Indusi. Od tych ostatnich, za pośrednictwem kupców arabskich, w XIII w. zostało ono przyjęte wraz z systemem dziesiątkowym przez ówczesny cywilizowany świat. Z tego powodu system dziesiątkowy bywa nazywany systemem arabskim, a używane obecnie cyfry 0, 1, 2, 3, ... , 9 — cyframi arabskimi.
W addytywnych systemach liczbowych wartość cyfr nie zależy od ich pozycji; dawne systemy liczbowe opierały się na zasadzie czysto addytywnej. W rzymskim systemie liczbowym cyfry mają z góry przypisaną wartość, która w zasadzie nie zależy od ich pozycji (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000), jednakże cyfry o wartości mniejszej stojące przed cyframi o wartości większej są odejmowane, np. MCMLXXXIV = 1000 − 100 + 1000 + 50 + 10 + 10 + 10 − 1 + 5 = 1984. Tak więc rzymski system liczbowy nie jest czystym systemem addytywnym. Przykładami systemów czysto addytywnych są: układ jedynkowy, w którym pionowa kreska oznacza 1, a powtórzenie jej ileś razy oznacza odpowiednią liczbę, np. 4 = ||||, 9 = |||||||||, oraz system grecki (joński), w którym 27 literom alfabetu greckiego przypisano wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900.
Jarosław Wróblewski
Bibliografia
G. Ifrah Dzieje liczby, czyli historia wielkiego wynalazku, Wrocław 1990.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia